数学期望值是随机变量的均值，它反映了随机变量取值的平均水平。对于离散型随机变量 ⁄( x ⁄)，其概率分布为 ⁄( p(x = x_i) = p_i ⁄)，⁄( i = 1, 2, ⁄cdots ⁄)，则数学期望值 ⁄( e(x) = ⁄sum_{i} x_i p_i ⁄)；对于连续型随机变量 ⁄( x ⁄)，其概率密度函数为 ⁄( f(x) ⁄)，则数学期望值 ⁄( e(x) = ⁄int_{-⁄infty}^{⁄infty} x f(x) dx ⁄)。
二、离散型随机变量数学期望值的计算
（一）实例一
掷一枚均匀的骰子，设随机变量 ⁄( x ⁄) 表示掷出的点数。则 ⁄( x ⁄) 的取值为 ⁄( 1, 2, 3, 4, 5, 6 ⁄)，且 ⁄( p(x = k) = ⁄frac{1}{6} ⁄)，⁄( k = 1, 2, ⁄cdots, 6 ⁄)。
根据数学期望值公式可得：
⁄( e(x) = 1⁄times⁄frac{1}{6} + 2⁄times⁄frac{1}{6} + 3⁄times⁄frac{1}{6} + 4⁄times⁄frac{1}{6} + 5⁄times⁄frac{1}{6} + 6⁄times⁄frac{1}{6} ⁄)
⁄( = ⁄frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = ⁄frac{21}{6} = 3.5 ⁄)。
（二）实例二
有一批产品，其中有 ⁄( 30⁄% ⁄) 的一等品，⁄( 50⁄% ⁄) 的二等品，⁄( 20⁄% ⁄) 的三等品。随机抽取一件产品，设一等品得分为 ⁄( 3 ⁄) 分，二等品得分为 ⁄( 2 ⁄) 分，三等品得分为 ⁄( 1 ⁄) 分。设随机变量 ⁄( y ⁄) 表示抽取产品的得分。
则 ⁄( p(y = 3) = 0.3 ⁄)，⁄( p(y = 2) = 0.5 ⁄)，⁄( p(y = 1) = 0.2 ⁄)。
⁄( e(y) = 3⁄times0.3 + 2⁄times0.5 + 1⁄times0.2 ⁄)
⁄( = 0.9 + 1 + 0.2 = 2.1 ⁄)。
三、连续型随机变量数学期望值的计算
（一）实例
设连续型随机变量 ⁄( x ⁄) 的概率密度函数为 ⁄( f(x) = ⁄begin{cases}2x, & 0 ⁄leq x ⁄leq 1 ⁄⁄ 0, & ⁄text{其他} ⁄end{cases} ⁄)。
根据数学期望值公式可得：
⁄( e(x) = ⁄int_{-⁄infty}^{⁄infty} x f(x) dx = ⁄int_{0}^{1} x⁄cdot 2x dx ⁄)
⁄( = 2⁄int_{0}^{1} x^2 dx = 2⁄times[⁄frac{1}{3}x^3]_0^1 = ⁄frac{2}{3} ⁄)。
通过以上多个维度的实例解析，我们可以更清晰地理解和掌握数学期望值的计算方法，它在概率统计以及实际生活中的决策等方面都有着重要的应用。
